Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

  1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
  2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

  1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
  2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Теорема Пифагора, формула

Теорема

– в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула:

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий , зеленый , красный )

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

  1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
  2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
  3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной . Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Так как острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО!!! Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.

Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”

Решение

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – .

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Итак, , а . Катеты в сумме получают 41.

Тогда . То есть квадрат гипотенузы равен 41.

Квадрат числа 41 = 6,4.

Мы нашли гипотенузу.

Ответ

Гипотенуза = 6,4

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

  • a и b – катеты, образующие прямой угол.
  • с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

  • a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
  • b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
  • c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

  • p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
  • r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал:

Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.

  • Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты - стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу - как «с» (гипотенуза - самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).

  • Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.

    • Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
    • Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).

  • Подставьте в формулу a 2 + b 2 = c 2 данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b - это катеты, а с - гипотенуза.

    • В нашем примере напишите: 3² + b² = 5² .

  • Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени - вы можете возвести числа в квадрат позже.

    • В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.

  • Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).

    • В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.

  • Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. На данном этапе на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне - свободный член (число).

    • В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4 .

  • Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни - в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).

    • Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
      • «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • с = √425
        • с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров .

    • Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

    Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

    К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

    Из истории вопроса

    Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

    Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

    Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

    Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

    Доказательства теоремы Пифагора

    В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

    Доказательство 1

    Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

    Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

    Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

    Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :

    Доказательство 2

    Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

    Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

    В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b .

    Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c .

    Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b) .

    Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab . Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2 – вы доказали теорему Пифагора.

    Доказательство 3

    Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

    Но мы разберем это доказательство более подробно:

    Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с . Катеты треугольника назовем а и b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b) .

    Используйте формулу площади квадрата S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .

    Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.

    Доказательство 4

    Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

    В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

    Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a .

    Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .

    Доказательство 5

    Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

    Постройте прямоугольный треугольник АВС . Нам надо доказать, что ВС 2 =АС 2 +АВ 2 .

    Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD , который равен катету АВ . Опустите перпендикулярный AD отрезок ED . Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В , а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

    Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

    Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ , является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD , АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2 .

    При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S ABED =(DE+AB)*1/2AD . Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD .

    Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD) . Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2 . А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2 . Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС 2 =АС 2 +АВ 2 . Мы доказали теорему.

    Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

    Пару слов о Пифагоровых тройках

    Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

    Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

    Пифагоровы тройки могут быть:

    • примитивными (все три числа – взаимно простые);
    • не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

    Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

    Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

    Практическое применение теоремы

    Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

    Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

    Обозначим ширину окна как b , тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2 . Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4 . В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p ).

    Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р . Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p . Один катет представляет собой радиус b/4 , другой b/2-p . Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2 . Далее раскроем скобки и получим b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2 . Преобразуем это выражение в bp/2=b 2 /4-bp . А затем разделим все члены на b , приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4 . И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

    С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

    Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

    Свет истины рассеется не скоро,
    Но, воссияв, рассеется навряд
    И, как тысячелетия назад,
    Не вызовет сомнения и спора.

    Мудрейшие, когда коснется взора
    Свет истины, богов благодарят;
    И сто быков, заколоты, лежат –
    Ответный дар счастливца Пифагора.

    С тех пор быки отчаянно ревут:
    Навеки всполошило бычье племя
    Событие, помянутое тут.

    Им кажется: вот-вот настанет время,
    И сызнова их в жертву принесут
    Какой-нибудь великой теореме.

    (перевод Виктора Топорова)

    А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

    А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

    Заключение

    Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

    Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

    Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

    Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

    сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.