Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

Аналогично запишем и такое выражение:

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

  1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
  2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
  3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

  • Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
  • Для константы — $=const\to \cdot x$
  • Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

Задача № 2

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

  • умножать (степени складываются);
  • делить (степени вычитаются);
  • умножать на константу;
  • и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

Пример № 2

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

Пример № 3

Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

Перепишем:

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

Собираем все в общую конструкцию:

Задача № 2

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

Запишем полученную конструкцию:

Задача № 3

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

Давайте напишем итоговое решение:

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

  1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
  2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
  3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

И последняя:

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

Пример № 2

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

Осталось отобразить итоговое выражение:

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

Задача № 2

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

Подставим координаты точки $M$:

Итого запишем окончательную конструкцию:

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!

Первообразная

Определение первообразной функции

  • Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

  1. f производная функции F
  2. F первообразная для функции f

Свойство первообразных

  • Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

  • Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
  3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

  • Например:

    F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

    f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

    f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
  3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

  • Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
  • f(x) - называют подынтегральной функцией;
  • f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
  • x - называют переменной интегрирования;
  • F(x) - одна из первообразных функции f(x);
  • С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

  1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
  2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
  3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
  4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

f(x)

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

\int f(x) dx = F(x) + C

0 C \int 0 dx = C
f(x) = k F(x) = kx + C \int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1 F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
f(x) = \frac{1}{x} F(x) = l n \lvert x \rvert + C \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x F(x) = e^x + C \int e{^x }dx = e^x + C
f(x) = a^x F(x) = \frac{a^x}{l na} + C \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
f(x) = \sin x F(x) = -\cos x + C \int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x F(x) =\sin x + C \int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} F(x) = -\ctg x + C \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} F(x) = \tg x + C \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
f(x) = \sqrt{x} F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} F(x) =2\sqrt{x} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} F(x)=\arcsin x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} F(x)=\arctg x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} F(x)=\arctg + C \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
f(x)=\tg x F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\sin x} F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\cos x} F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C


Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_{a}^{b} f(x) dx

Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.

1) Правило интегрирования суммы или разности.
.
Здесь и далее u, v, w - функции от переменной интегрирования x .

2) Вынесение постоянной за знак интеграла.
Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла.

3) Метод замены переменной.
Рассмотрим неопределенный интеграл .
Если удастся подобрать такую функцию φ(x) от x , так что
,
то, выполнив замену переменной t = φ(x) , имеем
.

4) Формула интегрирования по частям.
,
где u и v - это функции от переменной интегрирования.

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.
См. Таблица интегралов >>>

Пример

Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:
, и .
Применяем метод 1 .

Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2 , соответственно. Применяем метод 2 .

В таблице интегралов находим формулу
.
Полагая n = 2 , находим первый интеграл.

Перепишем второй интеграл в виде
.
Замечаем, что . Тогда

Применяем третий метод. Делаем замену переменной t = φ(x) = ln x .
.
В таблице интегралов находим формулу

Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любой буквой, то

Перепишем третий интеграл в виде
.
Применяем формулу интегрирования по частям.
Положим .
Тогда
;
;

;
;
.

Окончательно имеем
.
Соберем члены с x 3 .
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Таблица первообразных


Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов,
можно интегрировать некоторые функции.

ПРИЁМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод подстановки

Наиболее общим приёмом интегрирования функций является метод
подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл
является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть
сведен к табличному.

переменную.т заменяют переменной / по формуле х=φ(t) и,
следовательно, dx произведением φ"(t)dt.




Интегрирование по частям


Пример: необходимо найти интеграл



Здесь в двойные вертикальные линии заключены все вычисления, которые
являются подготовительными для применения формулы интегрирования по
частям. Подготовительные записи могут быть вынесены за пределы уравнения.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), при
переходе аргумента х от значения а к значению b.
Решение. Положим, что интегрированием найдено


Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x) + С 1
отсутствует постоянная величина С 1 . А так как под С 1 подразумевалось любое
данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при
переходе аргумента х от значения х=а к значению х=b все функции F(x) + С,
первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное
F(b)-F(a).

Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать
символом


Таким образом, искомый интеграл равен 6.

Геометрический смысл определенного интеграла

1. Найти площадь одной арки синусоиды.


Тело вращения изображено на рисунке.
В качестве плоскости я выберем плоскость ху.




Пример №2. Нахождение определенного интеграла методом замены переменной
интегрирования

Пример №3. Нахождение определенного интеграла методом интегрирования по
частям.


Соотношения между массой m и плотностью р:

Соотношения между электрическим зарядом q и силой тока I:

Соотношения между теплоёмкостью с и количеством теплоты Q:

Описание движения вязкой жидкости, крови по сосудам, распределения
давления крови в сердечнососудистой системе, тепловых, электрических,
магнитных, оптических процессов, связанных с жизнедеятельностью
организма, требует применение интегрирования.

ТРЕНИНГ: РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ

точки меняется по закону v = (6t +7) м/с

Определить, как зависит от времени пройденный путь, если скорость материальной
точки меняется по закону v = (6t +7)м/с, если известно, что в начальный момент


времени (t=0), материальная точка находилась на расстоянии s 0 = 4м от начала


Найти работу, совершаемую пружиной при её удлинении от x 1 до х 2 .
Решение.


Чтобы проинтегрировать данную функцию, необходимо сделать замену
переменной

Гак как 4-х 2 ≤2-х на отрезке [-1;2], то площадь S данной фигуры вычисляется
следующим образом:



Решение.
u = sinx
du = cosxdx

новые пределы интегрирования: u 1 = 0 (т.к. x 1 = 0, подставим это значение в новую
функцию - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)


возникновении в нем индукционного тока,






ответ:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие искомые
функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под
влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,
по существу одновременно с интегральным исчислением и
дифференциальным исчислением.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.
Ньютона и Г. Лейбница; термин "дифференциальные уравнения"
принадлежит Лейбницу. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (х)
функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй
задачи. Такой подход был для Ньютона, как создателя основ
математического естествознания вполне оправданным: в очень большом
числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами,
выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих
процессов сводится к решению дифференциальных уравнений.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к
сказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура
которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что
приращение ΔТ(отрицательное в случае Т> 0) его температуры за малый
промежуток времени Δt с достаточной точностью выражается формулой

где k - постоянный коэффициент. При математической обработке этой
физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее
предельное соотношение между дифференциалами

т. е. имеет место дифференциальное уравнение

где Т обозначает производную no t.

растяжения пружины, приводят груз в
движение. Если х (t) обозначает
величину отклонения тела от
положения равновесия в момент
времени t, то ускорение тела
выражается 2-й производной х" (t).
Сила тх" (t), действующая на тело,
при небольших растяжениях пружины
по законам теории упругости пропорциональна отклонению х (t). Т. о.,
получается дифференциальное уравнение


Его решение имеет вид: